二.十八世纪的伟大成就:理想弦振动模型的建立和分析

    随着人类的进步,人们逐渐意识到要彻底解开琴弦之谜,关键在于掌握弦上各点的运动规律,并从理论上加以证明。到了十八世纪中叶,经典的物理学已基本建立,但弦是细长的弹性物质,并不能直接对弦运用之类只适用于抽象质点的公式。在牛顿(Isaac Newton, 1643-1727)等人创立了微积分之后,很多人开始有信心面对弦振动的问题,把琴弦分成极微小的小段再运用力学公式,但问题却依然存在:人们最关心的任意时刻琴弦上每一点离开平衡位置的偏移量,不仅和这一点在琴弦上的横向位置有关,还随时间变化,这在当时是无法解决的。直到1747年,法国物理学家、数学家和天文学家达朗贝尔(Jean Le Rond d'Alembert, 1717-1783)在《张紧的弦振动时引起的曲线研究》一文中首次引进了偏导数的概念,提出了弦振动的偏微分方程[5],问题才开始有了希望。

     

    1.拨弦模型的提出

        可以证明在理想情况下,琴弦上任意一点的运动符合以下方程:

                                     3

        其中是琴弦的张力,是琴弦的密度,是弦振动的波速,对于确定的琴弦状态来说是常量[6]

    为简化起见,不妨设琴弦长为,仅在的时刻,在离端点 处把弦拉开的距离后自由释放。为了能看清楚,这一距离被大大夸张了(见图2),这也是大部分拨弦乐器最一般的演奏过程。

    2 拨弦振动初始条件

    在这种条件下,可从式3中解出:             4

     

    2.拨弦振动轨迹的简要讨论

    3 三种拨弦振动模式图(可参见文末彩图1,彩图2)*

    互动演示(可在任意位置拨弦并观测理想状态下的琴弦运动与频谱):

    3是根据式4,用计算机模拟出来的三种拨弦振动,从左到右分别为在弦的1/2,1/5和1/9处拨弦的振动模式,最粗的线代表弦。

    首先,我们会发现,琴弦运动的包络线竟然是四边形的,而不是通常所想象的弧线型。关于这一点应该指出,数学模型是理想状态下的,和现实有一定的差异(起码就没有考虑能量损失),但基本相似,特别是在拨弦振动建立的最初瞬间。也许,应该这样全面理解弦的振动:一根绷紧了的琴弦,无法悠闲的完全以我们脑子里固有的那种弧线型方式振动,而必然包含斩钉截铁的直线,不过感谢自然在这些三角形的直线振动里,蕴含了无限多种频率成倍数关系的、美妙的正余弦函数的振动,并用一些非常讨好的比例搭配在一起,所以我们才有可能听到丰满的泛音;而这些隐含的振动通常是不可见的,只有在“自然的照妖镜” :傅立叶(Jean Baptiste Joseph Fourier, 1768-1830)分解的威慑力下,才会乖乖的显现出来。正如我们可以用三棱镜把白光分解为七色光一样 [7]

     

    3.触弦点对音色和音量影响的讨论

    4 三个不同触弦点求出的理论频谱()*

    4给出了在三个不同点上触弦得到的理论频谱(可从式4算出),假设我们拨动的是一根调成g音的弦,那么图4中每张图中的十二根柱子,近似的就应该对应图5的这前十二个谐音:

    5 g弦振动的前12个谐音*

    可以看出大致有以下几条规则(这些结论也可以通过式4直接推导,并且对于拉弦或击弦乐器也基本成立):

    1)触弦点越接近弦的两端音量越大。明显能看出,图4中从左到右,那些代表谐音振幅的柱子的总面积在增加。

    2)触弦点接近弦两端时,基音的振幅逐渐减小,会激起更多的泛音,最初能使音色变亮,但由于越高阶的泛音越不和谐,所以当过分接近两端时会激起很多噪音。

    3)触弦点越接近弦中点,基音的振幅越大,泛音的振幅则越小,音色就越纯,比如竖琴的音色通常很纯净,就和触弦点较接近弦中点有关。

    4)从图4中可以清楚的看出:在1/2弦长点触弦的频谱里,第2,4,6……谐音的振幅都为零,在1/5弦长点触弦的频谱里,第5,10,15……谐音的振幅为零,在1/9弦长点触弦的频谱里,第9,18……谐音振幅为零。这一现象结合对式4的分析,我们可以得出结论:谐音的振幅分布在随呈平方反比衰减的同时,还伴有一种相对于为周期的正弦波动,因此所有以触弦点作为波节的谐波都不会出现。

    此规则可以给我们用来“消灭”某些不想要的谐音,比如小提琴运弓的位置一般大约在弦长的1/9到1/11处,很大程度上是为了在得到丰满音色的同时,摆脱一些不谐和的高阶谐音[8]。(见图4,5)。

    最后要指出,从式3、式4的求解过程中可以证明:拨弦的速度和角度对音色也会产生一定影响,但由于这些无限复杂和多样的“非典型”状态(包括每一件乐器特有的共鸣等等),常常还会破坏理想弦的基本假设,不太值得通过上述方法去进一步讨论。

     

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